Содержание курса | Самостоятельная работа | Литература

Уравнения математической физики.

Механико-математический факультет МГУ, кафедра математического анализа,

тел.939-18-01.

Авторы - проф. Прилепко Алексей Иванович, доц. Печенцов Александр Сергеевич.

Курс читается в 5 семестре для студентов специальности 011200 - геофизика.

Объем курса - 80 часов, лекции - 48 часов, семинарские занятия -32 часов.

Форма контроля. Курс завершается экзаменом.

Аннотация. Целью преподавания дисциплины является подготовка студентов к работе в области теории, практики и интерпретации геофизических исследований с использованием уравнений математической физики. Задачей курса является освоение основных понятий и методов решений уравнений математической физики.

Вверх

Содержание курса.

Ряды Фурье, преобразование Фурье, обобщенные функции, d -функция.

1. Тригонометрические ряды Фурье 2p -периодических функций. Основные теоремы о сходимости, дифференцируемости и интегрируемости (без вывода).
2. Тригонометрические ряды Фурье с любым периодом, спектр периодической функции.
3. Ортогональные и ортонормированные системы и ряды Фурье по ним.
4. Неравенство Бесселя, экстремальное свойство и равенство Бесселя. Полные ортонормированные системы.
5. Двойной интеграл Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье, простейшие свойства.
6. Обобщенные функции, d -функция. Регулярные и сингулярные обобщенные функции.

Вывод уравнений, классификация и постановка основных задач математической физики.

1. Математическое моделирование физических процессов. Понятие дифференциального уравнения с частными производными.
2. Вывод основных уравнений математической физики: малые поперечные колебания струны и стержня, теплопроводности и диффузии, стационарных (установившихся) режимов, уравнения Лапласа и Пуассона. Классификация и характеристики, а также канонический вид уравнений математической физики.

Метод разделения переменных (метод Фурье) и метод преобразования Фурье решения основных задач математической физики.

1. Задача Штурма-Лиувилля и ее применение при решении методом Фурье основных смешанных краевых задач для уравнений колебаний и теплопроводности.
2. Метод Фурье решения задачи Дирихле в прямоугольнике для уравнения Лапласа.
3. Интегральное преобразование Фурье и его применение к решению задачи Коши для уравнений колебаний и теплопроводности.

Эллиптические уравнения (уравнения Лапласа и Пуассона), метод функции Грина решения задачи Дирихле и теория потенциала.

1. Гармонические функции, их свойства, фундаментальное решение уравнения Лапласа.
2. Формула Грина. Внутренние и внешние задачи Дирихле и Неймана для гармомических функций. Метод решения задачи Дирихле с помощью функции Грина. Построение функции Грина методом электростатических изображений и решение задачи Дирихле для круга (шара), полуплоскости (полупространства).
3. Интегралы типа потенциал. Потенциал объемных масс и его свойства. Потенциалы простого и двойного слоев, их основные свойства, физическая трактовка и применение в геофизике. Решение задач с помощью теории потенциала.

Гиперболические уравнения (метод характеристик и метод Дюамеля решения волнового уравнения и уравнения переноса).

1. Метод характеристик решения задачи Коши, простейшей краевой задачи для уравнения бегущей волны (уравнения переноса) и решение задачи Коши для уравнения колебаний струны.
2. Задача Коши для однородного и неоднородного волнового уравнения в одно-, двух- и трехмерном пространстве и её решение методом Дюамеля (формулы Даламбера, Пуассона, Киргофа).
3. Запаздывающий потенциал. Принцип Гюйгенса. Сферические волны.

Параболические уравнения (формула Пуассона, решение задачи Коши для уравнения теплопроводности).

1. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и функция источника. Основные свойства решения уравнения теплопроводности.
2. Метод Дюамеля решения задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности в одномерном и многомерном случаях.
3. Метод отражения смешанно-краевых задач на полупрямой.

Элементы спецфункций и некорректные задачи.

1. Понятие о уравнении Бесселя и уравнении Лежандра. Колебание мембраны и шара.
2. Понятие о сферических функциях. Корректные и некорректные задачи математической физики и их применение в геофизики.
3. Понятие об обобщенных решениях уравнений математической физики. Разложение в ряды по спецфункциям.

Вверх

Самостоятельная работа студентов.

Для самостоятельной работы студентов выносятся следующие темы:

1. Основные теоремы тригонометрических рядов Фурье.
2. Свойства преобразований Фурье.
3. Вывод уравнений распространения звука.
4. Канонический вид уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
5. Свойства собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
6. Элементы обобщенных функций.
7. Функции Бесселя и их свойства.
8. Полиномы Лежандра и их свойства.
9. Сферические и шаровые функции и их свойства.
10. Ряды Фурье по спецфункциям.

Вверх

Литература.

1. Будак Б.М, Самарский А.А., Тихонов А.Н.. Сборник задач по математической физике. М., Наука, 1976.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., Наука, 1997.
3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Курс математического анализа. Т.1,2. М., Наука, 1971.
4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сенцов Б.Х. Математически анализ. Т.1,2. М., МГУ, 1995.
5. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М., МГУ, 1993.
6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1972.
8. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., Наука,1985.
9. Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.

Вверх | Содержание курса | Самостоятельная работа | Литература