Содержание курса | Литература

Механика сплошных сред.

Механико-математический факультет МГУ, кафедра газовой и волновой динамики, тел. 939-37-54.

Автор - доц. Звягин Александр Васильевич.

Курс читается в 5 семестре для студентов специальности 011200 √ геофизика.

Объем курса - 64 часа, лекции - 48 часов, семинарские занятия - 16 часов.

Форма контроля. Контрольная работа с собеседованием; курс завершается зачетом.

Аннотация. На основе аппарата высшей математики и курсов общей физики предполагается:

• выработать у студентов способность описания движения различных сред (газов, жидкостей, твердых деформируемых сред и т.д.) с единых позиций механики сплошных сред;
• показать возможности рассмотренных моделей сплошных сред для задач геофизики;
• на примерах решения конкретных задач механики сплошных сред закрепить теоретические знания, полученные студентами при изучении курсов дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного и уравнений математической физики.

Вверх

Содержание курса.

Введение.

Общая характеристка сплошных сред. Различные свойства твердых, жидких и газообразных тел, макроскопические методы описания их свойств. Деформируемые тела как подвижные материальные континиумы с индивидуализированными точками.

1. Математические основы.

Системы координат и их преобразования. Векторный анализ. Элементы тензорного исчисления. Тензоры второго ранга. Свойства симметричных и антисимметричных тензоров. Главные оси и главные значения симметричных тензоров. Характеристическое уравнение и основные инварианты тензора второго ранга. Основные тензорные операции.

2. Кинематика деформируемых сред.

Два способа изучения движения сплошной среды. Закон движения, поле перемещений, поле скоростей, поле ускорений. Индивидуальная и местная производные скаляра и вектора. Установившееся и неустановившееся движения. Траектории и линии тока. Деформация бесконечно малой частицы. Конечная и малая деформации. Тензор скоростей деформаций. Главные оси и главные значения тензоров деформаций и скоростей деформаций; инварианты этих тензоров. Шаровой тензор и девиатор деформации. Поверхность деформации. Вихри перемещений и скоростей. Потенциальное движение. Разложение движения малой частицы на поступательное и вращательное движения и движение чистой деформации. Уравнения совместности для тензоров деформации и скоростей деформации.

3. Основные уравнения механики сплошных сред.

Плотность, массовые и поверхностные силы. Внешние и внутренние силы. Примеры сил. Тензор напряжений, его главные оси и главные значения. Закон сохранения масс для индивидуального и фиксированного объемов сплошной среды. Уравнение непрерывности в переменных Эйлера и Лагранжа. Условие несжимаемости. Теорема о количестве движения (импульса) сплошной среды для МСС. Дифференциальные уравнения движения для МСС. Теорема о моменте количества движения и ее следствия для МСС. Симметрия тензора напряжений. Элементарная работа внешних и внутренних поверхностных и массовых сил. Кинетическая энергия, ее уравнение. Полная и внутренняя энергия. Теорема об изменении полной энергии для индивидуального и фиксированного объема сплошной среды. Уравнение полной энергии. Элементы термодинамики. Понятие о термодинамических параметрах и процессах. Температура, энтропия. Обратимые и необратимые процессы. Первое и второе начала термодинамики. Примеры процессов: изохорического, изотермического, адиабатического. Уравнение притока тепла.

4. Классические модели МСС.

Идеальная несжимаемая жидкость. Закон Архимеда. Установившееся и потенциальное течения жидкостей. Интегралы Бернулли и Коши-Лагранжа. Идеальный сжимаемый газ. Уравнение притока тепла для газа. Совершенный газ. Адиабата Пуассона. Интегралы Бернулли и Коши-Лагранжа для сжимаемого газа. Линейная теория упругих сред. Обобщенный закон Гука. Среды изотропные и анизотропные, примеры. Уравнения упругой Среды в перемещениях. Вариационные принципы в МСС. Примеры сред с диссипацией энергии. Вязкая жидкость. Упруго-пластическая среда.

5. Элементы теории распространения волн в сплошных средах.

Малые возмущения в газе, скорость звука. Волновое уравнение и его решения. Плоские и сферические волны. Представление Ляме вектора перемещения, потенциалы перемещения. Волновые уравнения для потенциалов продольных и поперечных волн. Волновые уравнения объемной деформации и вектора поворота. Плоские волны в неограниченной изотропной упругой среде. Типы волн. Распространение волн в анизотропных средах, сравнение со средами изотропными. Основные характеристики волн. Приложение лучевого метода к волновым задачам МСС, примеры. Влияние границ раздела на скорость распространения волн. Волны Рэлея и волны Лява. Понятие о дисперсии волн. Падение волн на границу раздела сред. Законы преломления и отражения. Падение волн под углом на свободную поверхность. Падение волны на жесткую поверхность. Использование волн для геофизических исследований. Физически нелинейные уравнения динамики упругой сплошной среды. Нелинейные эффекты. Ударные волны в сплошных средах. Основные законы механики на волне сильного разрыва.

Вверх

Литература.

1. Кольский Х. Волны напряжения в твердых телах. М., ИЛ, 1955.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., ОГИЗ, 1950.
3. Ляв А.Е. Математическая теория упругости. М., ОНТИ, 1935.
4. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М., Мир, 1974.
5. Новацкий В., Теория упругости. М., Мир, 1975.
6. Седов Л.И. Ведение в механику сплошной среды. М., Физматгиз, 1962.

Вверх | Содержание курса | Литература